在Matlab中求解微分方程

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我需要同时求解这两个微分方程。

dr^3/dt=(-3*D*Cs)/(ρ*r0^2 )*r*(1-C) dC/dt=((D*4π*r0*N*(1-C)*r)-(Af*C))/V 注意：dr ^ 3 / dt是r ^ 3相对于t的导数

这两个方程类似于微粒悬液的溶解过程及其在血流中同时吸收的粒径（r）和浓度（C）随时间的变化。当固体溶解时，随着半径A的减小，半径r会减小，浓度C会增加，最终达到平稳状态（即达到平衡），这是因为该Af * C将溶解的固体移至血液中项（其中Af是某种吸收速率常数）。这些方程式来自我尝试复制的本文： jpharmsci.org/article/S0022-3549(18)30334-4/fulltext#sec3.2.1 -C与t的变化应该像图3（DCU例）。

我做了简化：dr ^ 3 / dt = 3r ^ 2 *（dr / dt），并用等式的两边除以3r ^ 2。颂歌变成：

function dydt=odefcnNY_v3(t,y,D,Cs,rho,r0,N,V,Af) dydt=zeros(2,1); dydt(1)=((-D*Cs)/(rho*r0^2*y(1)))*(1-y(2)); % dr*/dt dydt(2)=(D*4*pi*N*r0*(1-y(2))*y(1)-(Af*y(2)))/V; % dC*/dt end y(1) = r* and y(2) = C* r* and C* 是本文中使用的术语，是“标准化”的半径和浓度，其中

r*=r/r0 and C*=C/Cs 哪里：

• r =粒子半径（随时间变化并用dydt（1）表示）
• r0 =初始粒子半径
• C =溶解固体的浓度（随时间变化并用dydt（2）表示）
• Cs =饱和溶解度

其余代码如下。 更新了作者对纸上使用的值的反馈，并将初始值校正为y0 = [1 0]

MW=224; % molecular weight D=9.916e-5*(MW^-0.4569)*60/600000 %m2/s - [D(cm2/min)=9.916e-5*(MW^-0.4569)*60] equation provided by authors, divide by 600,000 to convert to m2/s rho=1300; %kg/m3 r0=10.1e-6; %m dv50 Cs=1.6*1e6/1e9; %kg/m3 - 1.6ug/m3 converted to kg/m3 V=5*0.3/1e6;%m3 5ml/Kg animal * 0.3Kg animal, divide by 1e6 to convert to m3 W=30*0.3/1000000; %kg; 30mg/Kg animal * 0.3Kg animal, divide by 1e6 to convert to m3 N=W/((4/3)*pi*r0^3*rho); % particle number Af=0.7e-6/60; %m3/s tspan=[0 24*3600]; %s in 24 hrs y0=[1 0]; [t,y]=ode113(@(t,y) odefcnNY_v11(t,y,D,Cs,rho,r0,Af,N,V), tspan, y0); plot(t/3600,y(:,1),'-o') %plot time in hr, and r* xlabel('time, hr') ylabel('r*, (rp/r0)') legend('DCU') title ('r*'); plot(t/3600,y(:,1)*r0*1e6); %plot r in microns xlabel('time, hr'); ylabel('r, microns'); legend('DCU'); title('r'); plot(t/3600,y(:,2),'-') %plot time in hr, and C* xlabel('time, hr') ylabel('C* (C/Cs)') legend('DCU') title('C*'); plot(t/3600, y(:,2)*Cs) % time in hr, and bulk concentration on y xlabel('time, hr') ylabel('C, kg/m3') legend('Dissolved drug concentration') title ('C'); 我首先尝试使用ode45，但是代码花费了很长时间才能运行，最终出现一些错误。然后，我尝试使用ode113，并收到以下错误。

Warning: Failure at t=2.112013e+00. Unable to meet integration tolerances without reducing the step size below the smallest value allowed (7.105427e-15) at time t. 更新：更新了功能代码以解决奇点问题：

function dydt=odefcnNY_v10(t,y,D,Cs,rho,r0,N,V,Af) dydt=zeros(2,1); dydt(1)=(-D*Cs)/(rho*r0^2)*(1-y(2))*y(1)/(1e-6+y(1)^2); % dr*/dt dydt(2)=(D*4*pi*N*r0*(1-y(2))*y(1)-Af*y(2))/V; %dC*/dt end 结果

机械背景建模

dr / dt的派生



dC / dt的推导



模型假设

在上方，您将找到显示这些方程式推导的幻灯片。他们假设在Noyes-Whitney方程中，溶出度dM / dt =（𝐷/ h） 4 ^^ 2𝑁（𝐶𝑠−𝐶），膜厚h等于颗粒半径r。如果雷诺数低且颗粒小于60um（在这种情况下为10um），这通常是在生物制药模型中进行的简化。如果我们做这个假设，我们剩下的DM / DT = d 4个 π𝑟𝑁（𝐶𝑠-𝐶）。我渴望复制本文，因为我想做同样的事情，即对皮下注射微悬液的药物吸收进行建模。我已经联系了作者，他们似乎不太确定自己的所作所为，因此我正在寻找其他来源，例如，这篇论文： https : //pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/acs.iecr。图7b04730在等式6中示出了dC / dt的等式。他们将单位体积的表面积（a）（方程式5）的变化嵌入等式6中。它们的传质系数kL是集总参数= D / h（扩散率/膜厚度）。



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