在球体内采样均匀分布的随机点

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我希望能够生成落在球形体积内的粒子位置的随机均匀样本。

下图（由http://nojhan.free.fr/metah/提供 ）显示了我正在寻找的内容。这是穿过球体的切片，显示了点的均匀分布：



这是我目前得到的：



可以看到，由于球面坐标和笛卡尔坐标之间的转换，因此在中心存在一簇点。

我使用的代码是：

def new_positions_spherical_coordinates(self): radius = numpy.random.uniform(0.0,1.0, (self.number_of_particles,1)) theta = numpy.random.uniform(0.,1.,(self.number_of_particles,1))*pi phi = numpy.arccos(1-2*numpy.random.uniform(0.0,1.,(self.number_of_particles,1))) x = radius * numpy.sin( theta ) * numpy.cos( phi ) y = radius * numpy.sin( theta ) * numpy.sin( phi ) z = radius * numpy.cos( theta ) return (x,y,z) 下面是一些MATLAB代码，该代码假定会创建一个均匀的球形样本，这与http://nojhan.free.fr/metah给出的方程式相似。我似乎无法破译或理解他们的所作所为。

function X = randsphere(m,n,r) % This function returns an m by n array, X, in which % each of the m rows has the n Cartesian coordinates % of a random point uniformly-distributed over the % interior of an n-dimensional hypersphere with % radius r and center at the origin. The function % 'randn' is initially used to generate m sets of n % random variables with independent multivariate % normal distribution, with mean 0 and variance 1. % Then the incomplete gamma function, 'gammainc', % is used to map these points radially to fit in the % hypersphere of finite radius r with a uniform % spatial distribution. % Roger Stafford - 12/23/05 X = randn(m,n); s2 = sum(X.^2,2); X = X.*repmat(r*(gammainc(s2/2,n/2).^(1/n))./sqrt(s2),1,n); 对于在Python中从球形体积生成真正均匀的样本的任何建议，我将不胜感激。

似乎有很多示例说明了如何从均匀的球形外壳中采样，但这似乎更容易解决。问题与缩放有关-半径为0.1的粒子应该比半径为1.0的粒子少，以便从球体的体积生成均匀的样本。

编辑：修复并删除了我通常要求的事实，我的意思是统一。



回答：

尽管我更喜欢球体的丢弃方法，但为了完整性， 我提供了精确的解决方案 。

在球形坐标中，利用采样规则 ：

phi = random(0,2pi) costheta = random(-1,1) u = random(0,1) theta = arccos( costheta ) r = R * cuberoot( u ) 现在您有了一个(r, theta, phi)组，可以按照通常的方式将其转换为(x, y, z)

x = r * sin( theta) * cos( phi ) y = r * sin( theta) * sin( phi ) z = r * cos( theta )

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